Cử cán bộ, công chức, viên chức tham dự lớp bồi dưỡng Cán bộ quản lý trường học bậc mầm non, tiểu học, THCS và THPT Kiến thức và pháp luật Bảng tóm tắt kiến thức Vật Lý lớp 12 Sai lầm thường gặp khi làm toán tích phân Bảng Tuần hoàn hóa học có thêm 4 nguyên tố mới Pháp luật học đường Kỹ năng sống 4 bước thoát hiểm khi rơi xuống nước Trong quá trình học Toán, học sinh thường mắc những sai lầm, cho dù những sai lầm đó thường xảy ra hoặc có thể xảy ra đều là điều đáng tiếc cho bản thân học sinh và người dạy. Sáng kiến Những sai lầm thường gặp của học sinh ở một số bài học trong Toán 6 và biện pháp khắc phục sẽ giúp các em có khả 3.2: Phân tích sai lầm thường gặp khi làm đề thi: 15 sai lầm. 3.3 Hệ thống đề tham khảo (đề xây mới) + Số lượng: 20 đề tiêu chuẩn bám sát ma trận đề thi năm 2020 và nội dung thi vào 10 được quy định bởi Sở GD&ĐT các tỉnh Có những sai sót nhỏ nhưng khiến cho bài thi môn Vật Lý của bạn không có được số điểm mong muốn. Thầy giáo Toán nổi tiếng Hà Nội chia sẻ về điểm đổi mới cần chú ý trong đề thi Toán THPT quốc gia năm 2019. Trong chương trình Bí kíp mùa thi mới đây, thầy giáo Phạm "Một quan niệm sai lầm khác là đề thi tham khảo là khuôn mẫu. Nhưng rõ ràng không có khuôn mẫu nào có thể tạo ra sự hứng thú, vì tất cả đều biết trước. Việc ôn luyện môn Ngữ văn theo những khuôn mẫu có sẵn là cách học khổ ải, nhàm chán, khiến chính các em học sinh mất đi hứng thú khi làm bài", cô Tuyết lưu ý./. lp7r4ec. Së gi¸o dôc vµ µo t¹o Thanh hãa TR¦êNG thpt Hµm rång -˜˜&™™- S¸ng kiÕn kinh nghiÖm NGHI£ N CøU MéT Sè SAI LÇM KHI GI¶I TO¸N VECT¥ Vµ TO¹ §é Giáo viên Lê Thị Thủy Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực môn Toán Thanh hãa - 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC.. 1 1. MỞ ĐẦU.. 2 Lý do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu 2 Đối tượng nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu 3 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM... 4 Sai lầm do không nắm vững các khái niệm, các công thức, tính chất, vị trí tương đối giữa các hình. 4 Sai lầm không xét hết các trường hợp của bài toán. 8 Sai lầm không thử lại kết quả. 11 Sai lầm khi định dạng các hình do nắm tính chất hình không vững. 13 Sai lầm khi sử dụng lời giải không chính xác. 14 3. KẾT LUẬN.. 17 Kết quả thực nghiệm.. 17 Kết quả kiểm tra. 17 Kết quả chung. 17 Bài học kinh nghiệm.. 17 Kết luận. 17 Ưu điểm.. 17 Nhược điểm 18 Hướng phát triển. 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO.. 19 1. MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới…” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…” Chương trình hình học lớp 10, học sinh được học về vectơ, các phép toán về vectơ dùng làm phương tiện trung gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ gữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số. Với ý nghĩa như vậy, có thể coi phương pháp vectơ và tọa độ là phương pháp toán học cơ bản được kết hợp cùng phương pháp tổng hợp đề giải toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian. Trong số các công trình nghiên cứu về sai lầm của các học sinh trong giải toán thì số công trình đề cập tới các sai lầm của học sinh trong giải toán vectơ và tọa độ còn tương đối ít. Với các lí do nêu trên, đề tài được chọn là ”Nghiên cứu một số sai lầm khi giải Toán vectơ và tọa độ” Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh khắc phục được một số sai lầm khi giải toán vectơ và tọa độ. Có thể nói, trong sách giáo khoa chỉnh lý hiện hành, vectơ và toạ độ là phương pháp chủ đạo trong giải toán hình học, mức độ yêu cầu của tư duy rất cao, vì nhiều bài toán không cần đến hình vẽ, và có bài cũng không thể vẽ tường minh được. Đây cũng là một khó khăn đối với học sinh. Hệ thống lý thuyết về vectơ và toạ độ trong chương trình cũng khá đầy đủ để giải quyết hầu hết các dạng toán cơ bản. Tuy vậy, hệ thống bài tập còn chưa đầy đủ. Cũng có thể do thời gian phân phối cho môn học, do yêu cầu giảm tải của chương trình. Nhưng đây cũng chính là một mâu thuẫn trong thực hành kỹ năng và phương pháp cho học sinh. Vì trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng gần đây, bài tập về phần hình học cũng không phải dễ lắm, dạng bài tập cũng có điều mới lạ so với dạng bài tập sách giáo khoa. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 10 và 12 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay. Về các đường bậc hai như đường tròn và cônic, các khái niệm và tính chất khá phức tạp khi giải toán, học sinh dễ sa vào con đường phức tạp hoá bài toán nếu nhìn nhận theo góc độ thông thường, cần phải kết hợp linh hoạt được tính chất của hình học phẳng đã học ở bậc THCS thì bài toán mới gọn nhẹ. Cũng vì các lý do trên, nên học sinh thường gặp các sai lầm trong khi giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ. Chỉ rõ cho các em được những sai lầm này cũng là một cách để các em nắm lý thuyết vững hơn và hạn chế các sai lầm trong giải toán; góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường phổ thông. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê đưa ra các bài toán tổng quát. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NHỮNG SAI LẦM GẶP CỦA HỌC SINH SAU KHI GIẢI TOÁN VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Sai lầm do không nắm vững các khái niệm, các công thức, tính chất, vị trí tương đối giữa các hình. Ví dụ 1 Xác định góc giữa hai đường thẳng sau d 3x+y+3=0 và d' -x-2y+1=0. Giải Đường thẳng d có chỉ phương d=1,-3 Đường thẳng d' có chỉ phương d'=-2,1 Góc giữa d và d' là cos d , d'= Þ d,d'=1350 . Nhận xét Sai lầm ở chỗ là đã đồng nhất góc giữa hai vectơ chỉ phương với góc giữa hai đường thẳng. Hơn nữa chưa nắm vững khái niệm góc giữa hai đường thẳng là không tù. Lời giải đúng Làm tương tự trên với công thức cosd,d' =cos d , d'= Þ d,d'=450. Ví dụ 2 Cho DABC, biết A=1,1, B=-1,-1/2, C=4,-3. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A. Giải Ta có phương trình AB Û 3x-4y+1=0 Phương trình AC Û 4x+3y-7=0 Phương trình hai đường phân giác góc A là Vì phân giác trong góc A, nên chọn dấu âm, do đó phương trình phân giác trong góc A là 7x-y-6=0. Nhận xét Cách giải trên được đáp số đúng, nhưng suy luận phân giác trong góc A, nên lấy dấu âm là chưa chính xác. Cách giải đúng Cách 1 Ta có phương trình AB 3x-4y+1=0 AC 4x+3y-7=0 Phương trình các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A có phương trình Û Thay tọa độ của B, C lần lượt vào vế trái của d1 thì ta được Ta có B, C nằm cùng phía đối với d1=> d1 là phân giác ngoài => d2 là phân giác trong. Vậy phương trình phân giác trong góc A là 7x-y-6=0. Cách 2 Gọi D=x,y là chân phân giác trong góc A thì ta có Þ vì là phân giác trong nên hai vectơ này ngược chiều, nếu là phân giác ngoài thì 2 vectơ này cùng chiều Û . Vậy D=2/3,-4/3. Phương trình phân giác trong góc A là AD Û 7x-y-6=0. Cách xác định chân đường phân giác trong này còn rất hữu hiệu trong không gian, vì viết phương trình phân giác trong không gian khá phức tạp. Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình là và Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua M2 ;1 ;1, vuông góc với d1 , cắt d2 . Giải Gọi P là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và vuông góc với d1 P có phương trình là 3x-2+2y-1+z-1=0 3x+2y+z-9=0. Gọi Q là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và chứa d2 . P có phương trình là 8x-3y+6z-19=0. Ta có d=P Q nên d có phương trình là Nhận xét Lời giải trên chưa chứng tỏ được điều kiện d cắt d2 .Thực tế không tồn tại đường thẳng thoả mãn bài ra vì d song song với d2. Lời giải trên là đầy đủ nếu đề bài có ngụ ý tồn tại duy nhất đường thẳng d, tuy nhiên trong trường hợp tổng quát chưa chứng tỏ chắc chắn rằng d tồn tại và d cắt d2, có thể d// d2 trong mp Q hoặc P Q. Lời giải đúng Cách 1 Sau khi tìm được P và Q như trên , xét đường thẳng d có phương trình , đường thẳng này có véc tơ chỉ phương , trong đó là véc tơ chỉ phương của d2, mặt khác điểm N2 ;3 ;2 d2 nhưng N , vậy d// d2 nên bài toán vô nghiệm. Cách2 Gọi P là mặt phẳng đi qua M2 ;1 ;1 và vuông góc với d1 P có phương trình là 3x-2+2y-1+z-1=0 3x+2y+z-9=0. Gọi N= d2 P , để tìm toạ độ của N ,ta giải hệ hệ vô nghiệm d2//P bài toán vô nghiệm Ví dụ 4 Đề thi đại học khối D-2002 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P 2x-y+2=0 và đường thẳng dm m là tham sô. Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng P. Giải Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến 2 ;-1 ;0. Đường thẳng dm có véc tơ chỉ phương 1-m2m+1;-2m+12 ;-m1-m. Suy ra =32m+1. dm song song P =0 m=- Nhận xét Đáp số tuy đúng nhưng lời giải trên chưa chính xác, việc lập luận dm song song P là sai, đây chỉ là điều kiện cần. Lời giải đúng dm song song P Điều kiện =0 m=- . Mặt khác khi m=- thì dm có phương trình , mọi điểm A0 ;1 ;a của đường thẳng này đều không nằm trong P nên điều kiện được thoả mãn.. Đáp số m=- Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1,d2 lần lượt có phương trình là . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1,d2 . Giải d1 có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm A2 ;-4 ;0 d2 có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm B6 ;10 ;-8 Gọi P là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 P có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm A2 ;-4 ;0 nên có phương trình là x-2-y+4+2z=0 x-y+2z-6=0 Gọi Q là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1 Q có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm B6 ;10 ;-8 nên có phương trình là -x-6+2y-10+z+8=0 x-2y-z+6=0 Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 , ta có d=P Q nên d có phương trình là Nhận xét Lời giải trên hoàn toàn sai lầm khi cho rằng P là mặt phẳng chứa d1 và vuông góc với d2 P có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm A, Q là mặt phẳng chứa d2 và vuông góc với d1 Q có véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm B. Điều này chỉ đúng khi d1 d2., thực tế mp P vuông góc với d2 và d1 cắt P tại A, mp Q vuông góc với d1 và d2 cắt Q tại B. Lời giải đúng Gọi d là đường vuông góc chung của d1,d2 ; M= d1 d ;N= d2 d. Vì M d1 , N d2 nên M2-t1 ;2t1-4;t1, Nt2+6 ; 10-t2 ;2t2-8. Vì M0 ;0 ;2, N10 ;6 ;0 d có phương trình là Sai lầm không xét hết các trường hợp của bài toán Ví dụ 6 Viết phương trình đường thẳng D qua điểm A=0,3 và tạo với đường thẳng d x-y =0 một góc 450. Giải Giả sử D có hệ số góc k, qua A=0,3 nên có dạng y =kx+3 Û kx-y+3=0. D có vectơ chỉ phương D=1,k, d có chỉ phương d=1,1. Vì góc giữa hai đường thẳng là 450 nên ta có cosd,D=cos d, D Û Þ phương trình D y-3=0. Nhận xét Ta dễ thấy thiếu trường hợp D x = 0. Vậy sai lầm ở đâu? Đã xét chưa hết các trường hợp của đường thẳng D, trường hợp D không có hệ số góc và qua A=0,3 là x=0 thoả mãn bài toán. Nhưng nếu xét hai trường hợp của D như vậy trong trường hợp tổng quát là phức tạp, vì việc kiểm tra góc giữa hai đường thẳng không đơn giản như trường hợp trên. Ta có thể giải bài toán tổng quát hơn như sau Giả sử D có vectơ chỉ phương D=m,n, với m2+n2 ¹0. Ta có cosd,D=cos d, DÛ - Chọn m=1, n=0 có D y-3=0 - Chọn m=0, n=1 có D x=0 Ví dụ 7 Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn C x2+y2-4x-2y-4=0 qua điểm A=5,0. Giải Đường tròn C có dạng chính tắc x-22+y-12=9Þ Tâm I=2,1, R=3. Giả sử tiếp tuyến D có hệ số góc k, qua A= 5,0 nên có dạng y=kx-5 Û Û kx-y-5k=0. Để tiếp xúc C thì dI,D=R Û Û k=4/3 Þ Phương trình D 4x-3y-20=0. Nhận xét Cũng tương tự bài trên, không xét hết các dạng của D. Lời giải đúng Cách 1 Ta thấy IA2=10>9=R2ÞA ngoài C, nên có 2 tiếp tuyến qua A đến C. Làm như trên được D1 4x-3y-20=0, do nhận xét trên tiếp tuyến thứ hai qua A không có hệ số góc là D2 x=5. Cách 2 Tổng quát - Trường hợp D có dạng x=x0 Û x-x0=0, qua A x-5=0 Để tiếp xúc C thì dI,D=R Û 5-2=3, đúng Þ x-5= là tiếp tuyến - Trường hợp D có hệ số góc k làm như trên. Ví dụ 8 Cho hai điểm A=0,0 và B=1,2, đường thẳng d x-y+2=0. Tìm điểm C trên d sao cho DABC vuông. Giải Nhiều học sinh khi giải bài toán này đã không xét hết các trường hợp. Chẳng hạn chỉ xét vuông tại C. d có dạng tham số là x=t, y=t+2. Điểm CÎd nên C=t,t+2. Để tam giác vuông tại C thì Û 0-t1-t+0-t-22-t-2=0 Û 2t2+t=0 Û t=0 hoặc t=-1/2 Þ Có hai điểm C thoả mãn là C=0,2 và C=-1/2,3/2. Nhận xét Thiếu các trường hợp vuông tại A và B Lời giải đúng Xét các trường hợp - Tam giác vuông ở C Làm như trên. - Tam giác vuông ở A Û 1-0t-0+2-0t+2-0=0 Û t=-4/3 Þ C=-4/3,2/3. - Tam giác vuông tại B Û 0-1t-1+0-2t+2-2=0 Û t=1/3 Þ C=1/3,5/3. Ví dụ 9 Cho hai điểm A=4;5 và B=-2;-7, đường thẳng d 3x-y-4=0. Tìm điểm M trên d sao cho DMAB cân. Giải Gọi Mx;y là điểm cần tìm. M d 3x-y-4=0 y=3x-4 Mx;3x-4. DMAB cân tại M khi MA=MB MA2=MB2 4-x2+9-3x2=-2-x2+-3-3x2 84x=84 x=1 M1;-1 Nhận xét lời giải trên vừa thiếu, vừa sai. Bài toán yêu cầu tìm M d để DMAB cân. Phải xét ba trường hợp DMAB cân lần lượt tại đỉnh M, A, B. Ngay trong trường hợp DMAB cân tại đỉnh M thì MA=MB mới chỉ là điều kiện, chứ chưa đủ. Thấy ngay điểm M 1;1 chính là trung điểm của AB nên không thoả mãn bài toán. Ví dụ 10 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm P3 ;0 và hai đường thẳng d1,d2 lần lượt có phương trình là 2x-y-2=0 ; x+y+3=0. Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d1,d2 lần lượt ở A và B. Viết phương trình đường thẳng d biết PA=PB. GiảiGỉa sử Ax1 ;y1, Bx2 ;y2, do A d1, B d2 nên y1=2x1-2, y2= x2 -2. Vì PA=PB và A, B, C thẳng hàng nên P là trung điểm của AB Suy ra A , B , từ đó có phương trình đường thẳng cần tìm là y=8x-3. Nhận xét Lời giaỉ trên đã bỏ sót nghiệm, thực ra còn có đường thẳng nữa có phương trình là 4x-5y-12=0. Nguyên nhân sót nghiệm là ở điều kiện PA=PB và A, B, C thẳng hàng suy ra được suy ra được P là trung điểm của AB hoặc A B. Trường hợp A B ta có đường thẳng 4x-5y-12=0. Sai lầm không thử lại kết quả Ví dụ 11 Trong không gian với hệ tọa độ oxy, cho mặt cầu S có phương trình x2+y2+z2-4x-4y+2z-16=0 đường thẳng d1 và đường thẳng d2 . Hãy viết phương trình mặt phẳng P song song với d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng 3. Giải + S có tâm I2 ;2 ;-1 bán kính R=5 ; + d1 có vectơ chỉ phương là và d2 có vectơ chỉ phương là + có + P song song với d1, d2 nên nhận làm vectơ pháp tuyến. + Do đó phương trình P có dạng 2x+y-2z+D=0 + Theo giả thiết ta có + Với D=1=> P1 2x+y-2z+1=0 + Với D=-17=> P2 2x+y-2z-17=0 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x +y-2z+1=0 và 2x+y-2z-17=0 * Sai lầm ở đâu Đáp số sai, chỉ tồn tại một mặt phẳng cần tìm. Mặt phẳng P1 không song song với đường thẳng d1 nên bị loại, còn P1 song song ciwus cả 2 đường thẳng d1 và d2 nên là mặt phẳng cần tìm. - Nguyên nhân sai vì không thử lại để xem mặt phẳng tìm được có song song với hai đường thẳng đã cho không. * Thử lại như thế nào Ta có P hoặc song song hoặc chứa d1, d2 nên để kiểm tra ta chỉ cần lấy 1 điểm thuộc mỗi đường thẳng và thay vào phương trình mặt phẳng P thì P chứa đường thẳng tương ứng, ngược lại là song song. Cụ thể, ta có M11;-1;1 d1 và M23;0;-1 d2 Thử lại + M1 P1 nên P1 không thõa mãn. + M2 P2 d1// P2; M2 P2=> d2// P2 nên P2 thõa mãn. Sai lầm khi định dạng các hình do nắm tính chất hình không vững Ví dụ 12 Cho 3 điểm A=1,3, B=-1,1, C=4,6. Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành? Giải Giả sử D=x,y. Để ABCD là hình bình hành ta cần có . Vậy D=6,8. Nhận xét Nhìn về cách giải có vẻ như không sai lầm chỗ nào! Nhưng đây cũng chính là chỗ học sinh dễ sai nhất, đặc biệt là trong hình không gian sau này. Ta đã biết tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AD//BC và AD=BC. Như vậy đẳng thức vectơ trên chưa loại được trường hợp AD≡BC. Lời giải đúng Chỉ cần kiểm tra thêm 3 trong 4 điểm không thẳng hàng cho bài toán tổng quát toạ độ chứa tham số Còn đối với bài trên, dễ thấy là 2 vectơ cùng phương và chung điểm A nên A,B,C thẳng hàng Þ Không tồn tại D để ABCD là hình bình hành. Ví dụ 13 Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A2 ;3 ;-1, B0 ;-2 ;5 , C1 ;4 ;2 . Xét các điểm D có toạ độ Dm ;1-m ;1-5m, tìm giá trị m để A,B,C,D lập thành một tứ giác. Giải Ta có . Khi đó ABCD lập thành một tứ giác đồng phẳng -21m-2-72-5m=0 3m-6+2-5m=0 2m=4 m=-2 Vậy với m=-2 thì D-2;7;11 thoả mãn điều kiện A,B,C,D lập thành một tứ giác. Nhận xét Lời giải kết luận m=-2 A,B,C,D lập thành một tứ giác là hoàn toàn sai lầm. Việc lập luận A,B,C,D lập thành một tứ giác đồng phẳng là không chính xác, đây chỉ là điều kiện cần. Vì nếu A,B,C hoặc A,D,C thẳng hàng thì các véc tơ vẫn đồng phẳng nhưng 4 điểm A,B,C,D không lập thành một tứ giác Có thể giải lại bài toán như sau Ta có A,B,C,D lập thành một tứ giác đồng phẳng và trong 4 điểm A,B,C,D không có 3 điểm nàothẳng hàng. Vì vậy không có giá trị nào thoả mãn bài ra. Sai lầm khi sử dụng lời giải không chính xác Ví dụ 14 Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho mặt phẳng P x+y+z+2=0 và đường thẳng d . Tìm tọa độ giao điểm M của d và P. Giải Đường thẳng d có phương trình tham số Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ Suy ra M1;-3;0 là điểm cần tìm. * Sai ở đâu? Sai ở chỗ lời giải viết rằng “tọa độ điểm M là nghiệm của hệ * thì các phương trình thứ 2, 3, 4 chưa thõa mãn, cụ thể là Do đó không thể nói tọa độ của M là nghiệm của hệ * được. BÀI TẬP 1 Cho với viết phương trình đường phân giác góc trong của góc A. 2 Cho ba điểm A4;-1, B-3,2; C1;6. Tính góc giữa 2 đường thẳng AB, AC. 3 Cho ba điểm A3;0, B-5;4, P10;2. Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B. 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua A0;1 và tạo với đường thẳng d x+2y+3=0 một góc 450. 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng P 2x+y-2z+9=0. Tìm tọa độ giao điểm của d và P. 6 Xác định góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng P 3x+y+1=0. 7 Cho hai đường thẳng và viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với . 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1;1;0 và hai đường thẳng d1 và d2 . Viết phương trình mặt phẳng P song song với d1 và d2 đồng thời cách M một khoảng bằng . 9 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng y+z+4=0. Viết phương trình mặt phẳng biết rằng vuông góc với , song song với và . 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S, 2 đường thẳng d1 và d2 có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng P song song với d1, d2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng 3. 3. KẾT LUẬN Kết quả thực nghiệm Kết quả kiểm tra Lớp Sĩ số Điểm TB 5 đến 6,4 Điểm khá 6,5 đến 7,9 Điểm giỏi từ 8 trở lên Đạt yêu cầu SL % SL % SL % SL % 10A5 47 22 44,44 12 26,67 8 17,78 40 88,89 12A6 48 23 40,0 15 33,33 6 13,33 39 86,67 Kết quả chung Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy khối 10, khối 12 và luyện thi đại học trong trong hai năm gần đây. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh. Kết luận Sau một thời gian nghiên cứu và được sự giúp đỡ đóng góp ý kiến của đồng nghiệp đề tài hoàn thành với một số ưu nhược điểm sau Ưu điểm - Sáng kiến đã đạt được những yêu cầu đặt ra ở phần đặt vấn đề. - Tìm hiểu và đưa ra hệ thống bài tập tương đối đầy đủ có lời giải chi tiết. - Phần lớn bài tập đưa ra phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh khá - giỏi THPT. Bên cạnh đó đề tài đưa ra bài tập khó dành cho học sinh giỏi. - Giúp học sinh có những bài tập tương tự để phát triển tư duy. Nhược điểm - Hệ thống bài tập chưa phong phú. - Có những lời giải đưa ra vẫn còn dài chưa thật ngắn gọn. Hướng phát triển - Do thời gian thực hiện đề tài có hạn nên tôi chỉ giới hạn trong hệ thống bài tập - Xây dựng hệ thống bài tập phong phú và đa dạng hơn. - Đưa ra các lời giải ngắn gọn hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 10 – NXB Giáo Dục 2/ Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 12 – NXB Giáo Dục 3/ Tuyển tập các đề thi TSĐH từ năm 2002 đến năm 2013 4/ Sai lầm thường gặp khi giải toán- NXB Giáo Dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 03 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. Lê Thị Thủy Cập nhật lúc 020659/22-06-2017 Mục tin Thông tin mới nhất về thi thpt quốc gia 2021 8 sai lầm trong giải Toán trắc nghiệm là chia sẻ thiết thực giúp học sinh không gặp phải lỗi quá phổ biến thường gặp giúp giải toán được nhanh nhất. "Nhầm lẫn điều kiện, xét thiếu trường hợp, ngộ nhận kết quả tổng quát... là những sai lầm học sinh thường mắc phải", TS Nguyễn Sơn Hà nhấn mạnh. TS Nguyễn Sơn Hà Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Theo >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc. Giá siêu "hạt dẻ" - ai cũng mua được!Phân tích các lỗi sai mà học sinh khối A hay gặp phải trong việc giải đề Chỉ 1 cuốn sổ tay khai thác triệt để các dạng bài, dễ học, khó quênĐáp ứng đầy đủ 4 cấp độ của đề thi Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng & Vận dụng caoHướng dẫn chi tiết lời giải đúng để em hiểu bản chất các bài tậpĐược biên soạn bởi các thầy cô trường chuyên, tổng hợp qua quá trình chấm bài PHẦN 1 MỞ ĐẦU do chọn đề tài Lý thuyết về đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triển của Toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toán trong thực tế. Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, việc dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trường phổ thông có một ý nghĩa rất lớn. Thực tế cho thấy học Toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh. Học sinh thường phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn trong việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp… Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu quả đòi hỏi người giáo viên phải đề ra được những biện pháp hợp lý về cách chọn nội dung và phương pháp Dạy cái gì? Dạy như thế nào để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, làm thế nào để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập?... là những vấn đề được nhiều người quan tâm và nghiên cứu. Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và cách khắc phục”. 2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải toán tổ hợp, phân tích các sai làm phổ biến và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trung học phổ thông. Từ đó nghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ hợp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường trung học phổ thông. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm bao gồm Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong quá trình học Đại số tổ hợp. Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm. -1- Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về cách khắc phục sai lầm. Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chức tính khả thi và hiệu quả của những đề xuất. Đưa ra những kết luận cần thiết. 4. Phương pháp nghiên cứu. Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đế đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo… Điều tra tìm hiểu Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trung học phổ thông Đặng thai Mai. Thực nghiệm sư phạm Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai. -2- PHẦN 2 NỘI DUNG NỘI DUNG MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC. Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện nay. Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại số Tổ hợp của 100 học sinh lớp 11 – Ban nâng cao trường THPT Đặng Thai Mai với hình thức ra bài kiểm tra tự luận thời gian 20 phút Đề kiểm tra 1. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh trung bình. Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người, sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá? Đáp án 3780 cách 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt sao cho tổng các chữ số là một số chẵn? Đáp án 64800 số *Chúng tôi trình bày một số lời giải sai của học sinh Câu 1 - Lời giải 1 Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A Trường hợp 1 Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là = 403200 cách Trường hợp 2 Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là = 302400 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là 403200 + 302400 = 705600 cách -3- Nhận xét Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên đã sử dụng sai công thức. - Lời giải 2 Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A Trường hợp 1 Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là A13+A25+A58= 6743 cách Trường hợp 2 Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là A13 + A35 + A48 = 1743 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là 6743 + 1743 = 8486 cách Nhận xét Học sinh sử dụng sai quy tắc. - Lời giải 3 Mỗi cách chọn thành viên tổ 1 chính là cách chọn thành viên tổ 2. Như vậy ta chỉ cần xét cho tổ 1. Có 2 trường hợp Trường hợp 1 1 học sinh giỏi xảy ra 2 khả năng * Khả năng 1 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Có = 1680 cách * Khả năng 2 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng này có = 2100 cách Trường hợp 2 2 học sinh giỏi. Có 2 khả năng * Khả năng 1 2 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng này có = 2100 cách -4- * Khả năng 2 3 học sinh khá và 3 học sinh trung bình. Khả năng này có = 1680 cách Theo quy tắc cộng ta có kết quả là 1680 + 2100 + 1680 + 2100 = 7560 cách Nhận xét Học sinh phân chia trường hợp riêng chưa chính sác dẫn đến lặp. Do 2 tổ bình đẳng với nhau nên các cách xếp tổ 1 ở trường hợp 2 chính là các cách xếp tổ 2 ở trường hợp 1. - Lời giải đúng là Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A Trường hợp 1 Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là = 1680 cách Trường hợp 2 Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là = 2100 cách Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là 1680 + 2100 = 3780 cách Câu 2 - Lời giải 1 Số có 6 chữ số thoả mãn Tổng các chữ số là một số chẵn có thể xảy ra ở hai trường hợp Trường hợp 1 Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn có số. Trường hợp 2 Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn có số. Trong đó số các số có 6 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu là A59 = 15120 số. Vậy kết quả của bài toán là -5- – 15120 = 56880 số. Nhận xét Thực tế học sinh phân chia số có 6 chữ số mà tổng các chữ số là một số chẵn gồm hai tập hợp. Giả sử A Gồm các số có 6 chữ số có tổng các chữ số là số chắn. B Gồm các số có 6 chữ số và có chữ số 0 đứng đầu. C Gồm các chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán. Nhận thấy rằng Bø Vì xét một số ở tập B có 0 đứng đầu nhưng tổng các chữ số còn lại không phải là số chẵn suy ra nó không thuộc tập A. Từ đó dẫn đến sai lầm trong kết quả. - Lời giải 2 Gải sử số cần tìm là a1a2a3a4a5a6 a1 + a2 +a3 +a4 +a5 + a6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp Trường hợp 1 Có 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được ! = 36000 số Trường hợp 2 Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được ! = 36000 số Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là 36000 + 36000 = 72000 số Nhận xét Học sinh nắm chưa chính xác khái niệm cơ bản toán học nên đã không trừ đi những số có 6 chữ số phân biệt có chữ số 0 đứng đầu. - Lời giải đúng là Giả sử số cần tìm là a1a2a3a4a5a6 a1 + a2 +a3 +a4 +a5 + a6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp Trường hợp 1 Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn ta được ! - ! = 31200 số Trường hợp 2 Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được ! – ! = 33600 số -6- Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là 31200 + 33600 = 64800 số *Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong đề kiểm tra trên Sai lầm 1 Nhớ lẫn lộn giữa công tác tính số tổ hợp và số chỉnh hợp . Sai lầm 2 Sử dụng sai quy tắc . Sai lầm 3 Phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn đến lặp. Sai lầm 4 Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc. Sai lầm 5 Hiểu sai khái niên cơ bản của toán học . * Kết quả Quan thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về chủ đề ”Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp. Đa số học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân chia trường hợp riêng. Qua đó cho thấy trình độ giải toán của học sinh còn yếu. Câu hỏi đặt ra là trong khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm nào ? Cách hạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu quả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung. Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại Số Tổ Hợp. Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp... Theo tác giả Nguyễn Bá Kim ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”. Trong quá trình học chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa. Theo thì không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa lý hiệu với khái niệm được định nghĩa… Ví dụ 1 -7- Học sinh thường phát biểu „Tổ hợp chập k của n là Ckn ‟‟ mà phát biểu đúng là „Số tổ hợp chập k của n là Ckn‟‟ hoặc „Chỉnh hợp chập k của n là Akn ’’ mà phát biểu đúng là „Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là Akn ” . Cũng có những học sinh áp dụng công thác rất thành thạo nhưng lại không hiểu ý nghĩa của công thức. Ví dụ 2 Khi gặp bài tập chứng minh Cnn-k = Ckn. Học sinh dế dàng làm được bằng cách áp dụng trực tiếp công thức Ckn = n! n  k !k ! Tuy nhiên ít học sinh chứng minh được dựa vào định nghĩa của C kn, học sinh không hiểu được bản chất tập X gồm n phần tử có bao nhiêu tập con gồm k k ≤ n phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con gồm n-k phần từ. Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thươừng nhầm lẫn khi sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. Quy tắc cộng „‟Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n+m cách”. Quy tắc nhân „Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo cách”. Hai khái niệm nếu không được giải thích rõ ràng thì dễ làm học sinh nhầm lẫn cụm từ „một trong hai phương án” và „‟ hai công đoạn liên liếp”… gây ra sai lầm trong giải toán. Ví dụ 3 Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn 1 nam và 1 nữ? ♠. Học sinh giải như sau Số học sinh nữ là 40 – 20 = 20 học sinh. -8- Vận dụng quy tắc cộng ta có 20 + 20 = 40 cách. ♠. Nguyên nhân sai lầm Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn 1 nam, 1 nữ là ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ hoặc ngược lại, hai hành động này phụ thuộc nhau ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ. ♠. Lời giải đúng là Số học sinh nữ trong lớp là 40 – 20 = 20 học sinh Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn Công đoạn 1 Chọn 1 bạn nam có 20 cách. Công đoạn 2 Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn nữ. Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạn nam và 1 bạn nữ là = 400 cách chọn Khi giải các bài toán liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp nhiều học sinh vẫn chưa hiểu rõ được khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp. Dịnh nghĩa chỉnh hợp „„Cho tập hợp A gồm n phần tử n ≥ 1 và số nguyên k với 1≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự,ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A”. Định nghĩa tổ hợp „„Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1≤ k ≤ n . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phẩn tử của A gọi tắt là một tổ hợp chập k của A”. Do học sinh không nắm vững khái niệm nên khi sử dụng công thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp thường xảy ra nhầm lẫn. Ví dụ 4 -9- Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt ? ♠. Học sinh giải như sau Giả sử a1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0. Tổng số cách chọn 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là C 310, trong đó số cách sắp xếp a1 = 0 là C29. Do đó kết quả của bài toán là C310 – C29 = 84 ♠. Nguyên nhân sai lầm Học sinh chưa nắm được chỉnh hợp là một tập con gồm k phần tử sắp thứ tự trong khi bài toán này với 3 chữ số a1a2a3 phân biệt có 6 cách xếp thành những số khác nhau chẳng hạn a1a2a3 ≠ a1a2a3 . ♠. Lời giải đúng là Giả sử a1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0, ứng với mỗi cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Tổng số cách sắp xếp 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là A310, trong đó số cách sắp xếp a1 = 0 là A29. Do đó kết quả của bài toán là A310 – A29 = 648 số Ví dụ 5 Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra cặp để tham gia trò chơi? ♠. Học sinh giải như sau Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 7, nên số các chọn 3 nam có thứ tự là A37 = 210 cách. Tương tự số cách chọn 3 nữ có thứ tự là A39 = 504 cách. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham gia trò chơi là = = 105840 cách ♠. Sai lầm học sinh mắc phải Việc sắp xếp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặp lại. Giả sử 3 bạn nam xếp thứ tự là A,B,C ghép với 3 nữ theo thứ tự a, b, c. Ta có 3 cặp A,a, B,b, C,c. Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là B,C,A và 3 nữ là b,c,a thì ta cũng có 3 - 10 - cặp B,b, C,c, A,a giống trước. Như vậy trong bài toán này ta phải dùng công thức tính số tổ hợp chứ không dùng công thức tính số chỉnh hợp. ♠. Lời giải đúng là Xem việc lập 3 cặp để tham gia trò chơi gồm 3 công đoạn Công đoạn 1 Chọn 3 học sinh nam. Số cách chọn là C13 = 35 cách Công đoạn 2 Chọn 3 học sinh nữ. Số cách chọn là C39 = 84 cách Công đoạn 3 Sắp xếp 6 bạn trên thành 3 đôi nam nữ. Có 3! Cách xếp. Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu bài toán là 3!. = 17640 cách Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học. Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niêm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không nắm được khái niệm mới. Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến việc tất yếu là học sinh giải toán sai. Với ngôn ngữ của toán học cổ điển, trong lý thuyết tập hợp người ta hay sử dụng cụm từ “Tập hợp A gồm n phần tử”. Chẳng hạn như các chữ cái trong cụm từ “Đaihocvinh”, tập hợp các chữ cái có mặt trong cụm từ là {Đ; a; i; h; o; c; v; n} Có 8 phần tử khác nhau. Theo quan điểm của lý thuyết tổ hợp thì cụm từ trên gồm 10 chữ cái 10 phần tử. Chính vì thói quen hiểu theo lý thuyết tập hợp mà học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải toán tổ hợp. Ví dụ 6 - 11 - Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể viết thành bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó chữ số 7 có mặt hai lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? ♠. Lời giải của học sinh Giả sử số thoả mãn yêu cầu bài toán là a1a2a3a4a5a6a7a8 Số a1 có 7 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết là hoán vị của tập hợp gồm 7 chữ số khác nhau. Nếu coi hai chữ số 7 khác nhau thì số a1a2a3a4a5a6a7a8 có cách viết. Do số 7 xuất hiện hai lần nên với hai vị trí của hai chữ số 7 sẽ có hai hoán vị như nhau. Vậy kết quả của hai bài toán là  17640 cách viết 2 ♠. Sai lầm ở đây là Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết. Nghĩa là phải giả sử hai chữ số 7 khác nhau ngay từ đầu. ♠. Lời giải đúng là Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 7}. Số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết. Với hai vị trí nào đó của hai chữ số 7 thì có hai hoán vị như nhau. Vậy số a1a2a3a4a5a6a7a8 có  20160 cách viết 2 Trong các bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “Có thể lập được bao nhiêu số gồm k chữ số khác nhau”. Với cụm từ này thì dụng ý của tác giải viết sách là Số gồm k chữ số a1a2 …ak thì các a1 i = 1,k phải khác nhau từng đôi một. Tức là ai ≠ aj với i,j =1,k ; i ≠ j Tuy nhiên, cũng có học sinh hiểu các số gồm k chữ số khác nhau tức là a1a2 …ak ≠ b1b2 …bk dẫn đến sai lầm trong giải toán. Trong các bài toán về chủ đề Đại số tổ hợp sử dụng rất nhiều kiến thức toán học cơ bản như Một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, …; cách lập các số chẵn, số lẻ,… Nhiều học sinh không nắm vững những khái niệm cơ bản này nên đã có nhiều sai lầm đáng tiếc khi giải bài tập. - 12 - Ví dụ 7 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5? ♠. Lời giải của học sinh Số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là A46 = 360 cách Mỗi cách lập cho ta một số có 4 chữ số phân biệt thoả mãn yêu cầu bài toán. Trong đó số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt không có mặt chữ số 5 là A45 = 120 cách Theo quy tắc cộng ta có kết quả của bài toán là A46 - A45 = 360 – 120 = 240 Số ♠. Sai lầm ở đây là Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt nhưng trong các số lập được có số dạng 0abc, đây là dạng số có 4 chữ số không thoả mãu yêu cầu bài toán. Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính sai kết quả. ♠. Lời giải đúng ở đây là Giả sử a1a2a3a4 là số thoả mãn yêu cầu bài toán, suy ra a1 ≠ 0. Số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 là A46 – A35 = 300 cách. Trong đó số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 và không có mặt chữ số 5 là A45 – A34 = 96 cách. Mỗi cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Sử dụng quy tắc công ta có kết quả của bài toán là 300 – 96 = 204 số. Ví dụ 8 - 13 - Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có nhiêu cách chọn ra 3 cặp để tham gia trò chơi? ♠. Lời giải của học sinh Xem việc chọn 3 cặp nam nữ là một công việc gồm 3 công đoạn Công đoạn 1 Chọn cặp nam nữ thứ nhất. Có C19C17 cách chọn. Công đoạn 2 Chọn cặp nam nữ thứ hai. Có C18C16 cách chọn. Công đoạn 3 Chọn cặp nam nữ thứ ba. Có C17C15 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 3 cặp nam nữ để tham gia trò chơi là C19C17 .C18C16 .C17C15 = 105840 cách ♠. Nguyên nhân sai lầm Học sinh áp dụng quy tắc nhân, xem việc chọn 3 cặp nam nữ trải qua 3 công đoạn nhưng các cách thực hiện sau lại phụ thuộc vào các cách thực hiện công đoạn trước. Ví dụ Trải qua 3 công đoạn ta chọn được 3 cặp là A,a, B,b, C,c. Trong công đoạn 1 ta có thể chọn 1 cặp là B,b, công đoạn 2 chọn 1 cặp là A,a, công đoạn 3 chọn 1 cặp là C,c. Như vậy ta được 3 cặp nam nữ khác là B,b, A,a, C,c. Hai cách chọn này thực chất là một vì thế học sinh đã tính lặp. Phân chia trường hợp riêng. Phân chia trường hợp là biện pháp hay dùng khi giải các bài tập tổ hợp. Đứng trước bài toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hoá bài toán giúp học sinh giải bài tập một cách chính xác. Tuy nhiên, để có thể phân chia đúng, học sinh cần nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân. Nếu là quy tắc nhân thì phân chia thành các công đoạn thích hợp, còn nếu là quy tắc cộng thì phân chia thành các tập hợp con. Nhiều học sinh chưa nắm vững tiêu chí của sự phân chia nên đã dẫn đến sai lầm khi giải toán. Để phân chia một khái niệm thành những khái niệm nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu tiêu chí của sự phân chia. Đối với quy tắc cộng phải thoả mãn tính đầy đủ và độc lập. Chẳng hạn như ta chia tập hợp A thành các tập con A = A1  A2  …  Ak - 14 - Thì phải thoả mãn * A1  Aj ≠ 0; i ≠ j k Và *  A1 = A ; i,j = 1,k i1 Nhiều học sinh trong quá trình phân chia một khái niệm thành những khái niệm nhỏ đã vi phạm tính đầy đủ hoặc độc lập nên dẫn đến sai lầm trong giải toán. Ví dụ 9 Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh một bàn tròn, trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau? ♠. Lời giải của học sinh Ta xét bài toán gián tiếp Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh một học sinh nam khác. Ta có A24 cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ có thứ tự. Như vậy 4 học sinh nữ được chia làm 2 nhóm. Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ này. Có C25 cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ. 6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vị trí của một học sinh nam thì 5 học sinh nam còn lại có 5! Cách xếp vòng tròn. Vậy số cách xếp để mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh học sinh nữ khác là = 14400 cách. Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn tròn thì có 9! Cách xếp Vậy số cách xếp 2 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là 9! – 14400 = 348480 cách. ♠. Nguyên nhân sai lầm Do học sinh phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ còn lại không ngồi cạnh bạn nữ nào. ♠. Lời giải đúng là Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam. Vì 4 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ giữa học sinh nam. Số cách chọn là A46. Vì 2 cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tự quanh bàn - 15 - tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó, số hoán vị của 5 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 5!. Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là = 43200 cách. Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh trong khi học chủ đề Đại số tổ hợp. Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh. Giáo viên cần phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến ngôn ngữ toán học, phải mẫu mực về phương pháp, tư duy và lời giải phải chính xác cho từng bài toán. Giáo viên không được phủ định lời giải sai của học sinh một cách chung chung mà phải chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm của học sinh một cách chính xác và thuyết phục. Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai lầm, và việc đánh giá bài giải của học sinh qua điểm số phải công bằng. Sau khi học sinh trình bày lời giải, ngoài việc giáo viên nhận xét đúng, sai thì cần phải chính xác hoá lời giải cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt … giúp học sinh ngày càng tiến bộ hơn. Giáo viên cần nhấn mạnh các dấu hiệu đặc trưng của các khái niệm, quy tắc… Trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học bất kỳ một môn học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh hệ thống khái niệm. Đó là nền tảng toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học. Muốn làm được bài tập, điều quan trọng nhất là học sinh phải nắm vững những kiến thức liên quan đến bài tập đó. Tức là những khái niệm, định lý, quy tắc. Học tốt các khái niệm toán chính là điều kiện cơ bản để đảm bảo tư duy toán học chính xác, nếu không học tốt khái niệm, định lý sẽ là nguyên nhân mất gốc dẫn đến sai lầm khi giải bài tập toán. - 16 - Về mặt kỹ năng, cần rèn luyện cho học sinh biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, kết hợp hai quy tắc để giải các bài tập toán đếm. * Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu các phương án là phân biệt, tức là mỗi cách thực hiện công việc thuộc một và chỉ một phương án. Quy tắc cộng có thể phát biểu dưới dạng tổng số phần tử của các tập hợp không giao nhau. * Trong quy tắc nhân đã phát biểu Với mỗi cách thực hiện ở công đoạn Ai thì công đoạn tiếp theo Ai+1 có thể làm theo ni+1 cách. Như vậy, số cách thực hiện ở công đoạn tiếp theo Ai+1 luôn bằng ni+1 không phụ thuộc vào bất kỳ cách nào đã được thực hiện ở công đoạn hiện tại. Khi dạy các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học sinh nắm được - Thế nào là một hoán vị của một tập hợp, hai hoán vị của một tập hợp khác nhau nghĩa là gì, nhớ công thức tính số hoán vị của một tập hợp. - Thế nào là một chính hợp chập k phần tử của một tập hợp có n phần tử, hiểu được một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của tập hợp đó. Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử của A khác nhau ở chỗ nào, nhớ công thức tính số chỉnh hợp. - Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A, sự khác nhau giữa hai tổ hợp, công thức tính số tổ hợp. - Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp. Ngoài ra giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc nào thì dùng công thức về tổ hợp, khi nào thì dùng công thức về chỉnh hợp trong các bài toán đếm. Thực tế cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp. Trong quá trình dạy hai khái niệm này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp Tổ hợp là không kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra nghĩa là việc thay đổi vị trí của các phần tử không tạo ra cách mới. Chỉnh hợp thì ngược lại, nó kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra, việc thay đổi thứ tự của các phần tử sẽ sinh ra cách mới. Hướng dẫn học sinh giải bài toán gián tiếp. - 17 - Một loại toán có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải quyết bài toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm ra phương pháp giải toán cho một lớp bài toàn. đưa ra 4 bước quan trọng cho việc đi tìm đến lời giải của bài toán - Tìm hiểu nội dung bài toán. - Xây dựng chương trình giải. - Thực hiện chương trình giải. - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Khi dạy về quy tắc cộng và quy tắc nhân, trong các bài toán đếm phức tạp giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chuyển về giải bài toán gián tiếp Trong một số bài toán đếm, nếu số phần tử của tập E có tính chất A là khó đếm nhưng việc đếm số phần tử của E không có tính chất A dễ hơn thì ta nên dùng bài toán gián tiếp, tức là đếm số phần tử của E không có tính chất A, sau đó tính số phần tử của tập E có tính chất A bằng số phần tử của tập E trừ đi số phần tử của tập E không có tính chất A. E = B B Trong đó B là tập hợp các phần tử có tính chất A còn B là tập hợp các phần tử không có tính chất A E B Khi đó B /B/ = /E/ - /B/ - Nếu là bài toán chuẩn của dạng đã biết thì hãy sử dụng quy tắc đã biết để giải. - Nếu bài toán là không chuẩn thì cần hành động theo 2 hướng Tách từ bài toán ra hoặc chia nhỏ bài toán ra thành những bài toán nhỏ có dạng chuẩn hoặc diễn đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn đến bài toán đến một bài toán có dạng chuẩn. - 18 - Nhiều học sinh cũng biết cách chuyển về bài toán gián tiếp nhưng trong quá trình chuyển đổi thì lại gặp sai sót. Giáo viên cần đưa ra những ví dụ dễ gặp những sai sót và hướng dẫn học sinh giải cẩn thận. PHẦN 3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU. Nội dung . Cách thức tiến hành. Thực nghiệm được tiến hành tại trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai tôi chọn lớp 11B1 là lớp thực nghiệm và lớp 11B2 là lớp đối chứng. Trình độ chung về môn toán của 2 lớp này là tương đương. Giáo viên dạy lớp thực nghiệm cũng là giáo viên dạy đối chứng. Nội dung . Thực nghiệm được tiến hành trong 6 tiết đầu chương Tổ hợp và xác suất Sách giáo khoa Đại số 11 – nâng cao. Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Nội dung đề kiểm tra như sau Đề kiểm tra 20 phút 1. Cho 8 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt và chia hết cho 5? Đáp án 390 2. Một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú trong đó có nam sinh Cường và nữ sinh Hoa. Cần lập một ban cán sự gồm 6 người ưu tú với yêu cầu có ít nhất 2 nữ, ngoài ra Cường và Hoa không thể làm việc chung với nhau trong ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra ban cán sự? Đáp án 260 cách Đánh gái kết quả . Đánh giá định kỳ Qua các giờ thực nghiệm cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các kiến thức về Đại số tổ hợp được trang bị. Học sinh học tập một cách tích cực hơn. Nhưng khó khăn và sai lầm của học sinh đã giảm đi rất nhiều. Qua tiết kiểm tra cho thấy học sinh tích cực suy nghĩ làm bài kiểm tra và đạt kết quả khá cao. Đánh giá định lượng - 19 - Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm TN và học sinh lớp đối chứng ĐC được thể hiện thông qua bảng thống kê sau Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TN11B1 32 hs 0 0 1 2 2 3 6 5 6 5 2 ĐC11B2 32 hs 0 1 2 4 4 6 4 5 2 0 Lớp 4 * Lớp thực nghiệm 11B1 có 84,4% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; trong đó có 56,3% số học sinh đạt điểm khá, giỏi. * Lớp đối chứng 11B2 có 65,6% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; trong đó có 34,4% học sinh đạt điểm khá giỏi. Kết luận Kết quả cho thấy người giáo viên hoàn toàn có khả năng dự đoán được những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong giải toán. Đồng thời có thể đưa ra những biện pháp sư phạm nhằm hạn chế những sai lầm này. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Đặng Thai Mai, của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô. Thanh Hoá, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình không sao chép của người khác. ký ghi rõ họ tên Nguyễn Thị Hà - 20 - Lần đầu tiên môn Toán được thi theo hình thức trắc nghiệm, tuy đây là là hình thức giúp thí sinh dễ dàng hoàn thành bài thi. Tuy nhiên cũng là hình thức thi khiến thí sinh hay mắc phải những lỗi thường sảy ra trong đề thi trắc nghiệm Toán thpt quốc gia. 10 đề thi thử Ngữ văn THPT quốc gia cần làm trước khi đi thi thpt quốc gia. Đề thi thử Toán học dành cho thí sinh ôn luyện THPT quốc gia Vận dụng 5 bước hoàn thành câu phân tích Ngữ Văn trong đề thi Khắc phục những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia Khắc phục những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia Sau khi làm đề minh họa thpt quốc gia năm 2017 cũng như đề thử nghiệm của Bộ, có một sự thật là học sinh mắc lỗi rất nhiều ở những kiến thức đơn giản như phần lý thuyết. Chỉ một sai lầm nhỏ cũng làm học sinh mất đi 0,2 điểm trong đề thi trắc nghiệm Toán thpt quốc gia 50 câu. Đối với xét tuyển vào các trường đại học top, điểm cũng đủ để quyết định đỗ/trượt. Do đó, câu hỏi càng dễ, học sinh càng cần làm bài kỹ lưỡng, tránh sự chủ quan dẫn đến mất điểm đáng tiếc. Sau đây là những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia khi thí sinh được các thầy cô giáo chuyên giảng dạy Toán học nhận thấy ở những em học sinh như sau. Những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia với chuyên đề Hàm số Học sinh cũng như các thí sinh cần lưu ý khái niệm cực trị, điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số. Học sinh rất hay nhầm lẫn phần này. Lư ý tiệm cận Chú ý khi tính giới hạn hàm phân thức phải được tối giản. Lưu ý về bài toán về giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất trên KHOẢNG khác trên ĐOẠN Những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia với chuyên đề Mũ – Logarit Lưu ý nắm chắc phần lý thuyết về tính chất đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa. Lưu ý các tính chất của mũ, logarit khi cơ số LỚN HƠN 1 hoặc LỚN HƠN 0, KHÁC 1 Những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia với chuyên đề nguyên hàm – Tích phân Hai lưu ý cho thí sinh Thứ nhất Lưu ý những phần lý thuyết về định nghĩa, sự tồn tại, tính chất. Thứ hai Tỉ số diện tích, hình phẳng, thể tích vật tròn xoay Những lỗi hay gặp trong đề thi toán thpt quốc gia với chuyên đề hình không gian Lưu ý khái niệm mặt tròn xoay và hình tròn xoay Lưu ý về khối đa diện đều số cạnh, số đỉnh, số mặt… Để đạt được kết quả cao môn Toán trong kỳ thi thpt quốc gia thí sinh cần chú ý Với kinh nghiệm chấm thi nhiều năm, thầy Nguyễn Bá Tuấn khẳng định học sinh năm nào cũng bị mất điểm lãng xẹt ở những câu dễ ăn điểm vì những lỗi không đáng có ví dụ như năm nay là những phần kiến thức về lý thuyết nói chung và đặc biệt là những câu hỏi về định nghĩa, tính chất nói riêng. Theo thầy, không chỉ học sinh trung bình khá, kể cả các bạn có học lực khá giỏi vẫn thường bị mất điểm ở những câu căn bản dễ ăn điểm. Chỉ một sai lầm nhỏ cũng làm tiêu tan điểm quý giá. Với kinh nghiệm luyện thi và chấm thi nhiều năm, thầy Nguyễn Bá Tuấn có đưa ra một số lời khuyên cho teen 99 khi làm bài thi Đọc thật kỹ đề, đừng đọc lướt làm gì vì sẽ lại mất công đọc lại thôi, bạn không tiết kiệm thời gian hơn đâu Phân bổ thời gian hợp lý. Đừng nghĩ rằng 50 câu Toán chia đều thì mỗi câu bao nhiêu phút. Vì mức độ khó dễ khác nhau. Cứ bình tĩnh làm câu dễ hết thời gian chia đều thì phần cuối những câu khó bạn có “vắt chân lên cổ” cũng chẳng thể kịp đâu. Câu hỏi càng dễ càng không được để mất điểm. Nên nhớ, thi trắc nghiệm câu dễ hay khó thì hệ số điểm vẫn bằng nhau. Theo tổng hợp

những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt